5．2 等差数列及其前 n 项和[知识梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．数学语言表示为 an＋1－ a n＝ d (n∈N*)，d 为常数．(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A 叫做 a，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝a1＋ ( n － 1) d ，可推广为 an＝am＋ ( n － m ) d .(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝＝na1＋d.3．等差数列的相关性质已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn为该数列的前 n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即 a1＋an＝a2＋ a n－1＝a3＋ a n－2＝…＝ak＋ a n－k＋1＝….(2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时，am＋ a n＝ a p＋ a q(m，n，p，q∈N*)．特别地，若 m＋n＝2p，则 2 a p＝ a m＋ a n(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an是关于 n 的一次函数；当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．(2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn＝n2＋n.当 d≠0 时，它是关于 n 的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．5．等差数列的前 n 项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn存在最小值．[诊断自测]1．概念思辨(1)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修 A5P38例 1(1))已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第 100...
