第 3 讲平面向量1．以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3．向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现．1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．3．平面向量的三个性质(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝＝．(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝．(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝＝．4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP＝λ1OA＋λ2OB(其中 λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若 P 为△OAB 的边 AB 的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP＝(OA＋OB)．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA＋GB＋GC＝0⇔G．热点一 平面向量的有关运算【例 1】(1)(2018·大连八中)已知向量，，，则m=（）A．−2B．2C．−3D．3(2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝AB，BE＝BC．若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．1,1 a3,mb∥aab解析 (1)向量，，∴， ，∴1×2＝﹣1（1+m），∴m＝﹣3．故选 C．(2)DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC， DE＝λ1AB＋λ2AC，∴λ1＝－，λ2＝，因此 λ1＋λ2＝．答案 (1)C (2)探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【训练 1】(2019·广州一模)已知ΔABC的边BC上有一点DD满足⃑BD=4⃑DC，则⃑AD可表示为( )A．⃑AD=14⃑AB+ 34⃑ACB．⃑AD=34⃑AB+ 14⃑ACC．⃑AD=45⃑AB+ 15⃑ACD．⃑AD=15⃑AB+ 45⃑AC解析由题意可知⃑AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ 45⃗BC=⃗AB+ 45(⃗AC−⃗AB)=⃑AD=15⃑AB+ 45⃑AC．，故选 D．答案 D热点二 平...
