第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b .2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号且不为零)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．[常用结论]重要不等式链若 a≥b＞0，则 a≥≥≥≥≥b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于 4.( )(3)x>0，y>0 是＋≥2 的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )A．80 B．77 C．81 D．82C [xy≤2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立．故选 C.]3．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2D [ a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误；对于 B，C，当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ab>0，∴＋≥2＝2.]4．若 x＞1，则 x＋的最小值为________．5 [x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当 x－1＝，即 x＝3 时等号成立．]5．若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2的最小值为________．2 [由 xy＝1 得 x2＋2y2≥2＝2.当且仅当 x2＝2y2时等号成立．]利用基本不等式求最值►考法 1 直接法或配凑法求最值【例 1】 (1)(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋的最小值为________．(2)已知 x＜，则 f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(1) (2)1 [(1)由题知 a－3b＝－6，因为 2a＞0,8b＞0，所以 2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当 2a＝，即 a＝－3b，a＝－3，b＝1 时取等号．(2)因为 x＜，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝，即...
