第 2 讲 数列的求和及综合应用高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和.解 (1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，所以 an＝，又 n＝1 时，a1＝2 适合上式，从而{an}的通项公式为 an＝.(2)记的前 n 项和为 Sn，由(1)知＝＝－，则 Sn＝＋＋…＋＝1－＝.2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前 n 项和 Tn.解 (1)设{an}的公比为 q，由题意知 a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，又 an>0，解得 a1＝2，q＝2，所以 an＝2n.(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以 bn＝2n＋1.令 cn＝，则 cn＝，因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又 Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得 Tn＝＋－，所以 Tn＝5－.考 点 整 合1.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 (1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.(2)an＝忽略 n≥2 的限定，忘记第一项单独求解与检验.2.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一 数列的求和问题命题角度 1 分组转化求和【例 1－1】 (2017·郑州质检)已知数列...
