第 1 课时 椭圆及其性质[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．(对应学生用书第 153 页)1．椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a＞0，c＞0.① 当 2a＞|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆；② 当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2；③ 当 2a＜|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦点坐标F1( － c, 0) ，F2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ，F2(0 ， c ) 半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b离心率e＝，且 e∈(0,1)a，b，c 的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．2．过原点最长弦为长轴长 2 a ，最短弦为短轴长 2 b .3．与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝ 1( λ ＞－ b 2 ) ．4．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2 a .(2)4c2＝| PF 1| 2 ＋ | PF 2| 2 － 2| PF 1|| PF 2|·cos θ .(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc.(4)焦点三角形的周长为 2( a ＋ c ) ．(5)已知过焦点 F1的弦 AB，则△ABF2的周长为 4 a .一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆． ( )(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( )(4)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．设 P 是椭圆＋＝1 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A．4B．5 C．8 D．10D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]2．已知中心在原点的...
