第 2 讲 不等式的证明一、知识梳理1．基本不等式定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 2：如果 a，b 为正数，则≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 3：如果 a，b，c 为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．定理推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．常用结论1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2
3．若 a，b 为正实数，则≥
特别地，＋≥2
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
二、教材衍化1．已知 a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为________．解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为 a≥b>0
所以 a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b
答案：M≥N2．求证：＋
