第 2 讲 不等式的证明一、知识梳理1．基本不等式定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 2：如果 a，b 为正数，则≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 3：如果 a，b，c 为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．定理推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．常用结论1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2.3．若 a，b 为正实数，则≥.特别地，＋≥2.4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.二、教材衍化1．已知 a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为________．解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为 a≥b>0.所以 a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b.答案：M≥N2．求证：＋<2＋.证明：＋<2＋⇐(＋)2<(2＋)2⇐10＋2<10＋4⇐<2⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×二、易错纠偏设 a，b∈(0，＋∞)，且 ab－a－b＝1，则有( )A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1C．a＋b<＋1 D．a＋b>2(＋1)解析：选 A.由已知得 a＋b＋1＝ab≤，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得 a＋b≥2＋2 或 a＋b≤－2＋2(舍去)，即 a＋b≥2＋2.(当且仅当 a＝b＝＋1 时取等号)故选 A. 比较法证明不等式(师生共研) 设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．【证明】 因为 a，b 是非负实...
