高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第二节 不等式的证明学案 文 选修4-5-人教版高三选修4-5数学学案

\s\up7(第二节) \s\up7(不等式的证明)1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法．2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．知识点一 不等式证明的常见方法 1．综合法：从命题的已知条件出发，利用________、已知的______及______，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的________，利用已知的一些______，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________)．3．反证法：首先假设要证明的命题是________，然后利用______，已有的______、______，逐步分析，得到和____________(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论________，从而原来的结论正确．4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值______，反之，把分母缩小，则分式的值______．答案1．公理 定义 定理2．充分条件 定理 一个明显的事实3．不正确的 公理 定义 定理 命题的条件 不成立4．放大 缩小 缩小 放大1．判断正误(1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时假设为“a，b，c 全不为 0”．( )(2)若实数 x、y 适合不等式 xy>1，x＋y>－2，则 x>0，y>0.( )答案：(1)× (2)√2．若 m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则 m 与 n 的大小关系为________．解析： n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n≥m3．已知 a，b 为正数，求证：＋≥.证明： a>0，b>0，∴(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.∴＋≥.知识点二 柯西不等式 1．设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时等号成立．2．若 ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当＝＝…＝(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．3．柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值是________．解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得 25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案：5．若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．解析：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当 a＝b＝c＝...