第 2 讲 平面向量的基本定理及坐标表示基础知识整合1．平面向量的基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2使 a＝λ1e1＋λ2e2.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴正方向相同 的两个单位向量 i，j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实数 x，y，使得：a＝xi＋yj，( x ， y ) 叫做向量 a 的直角坐标，记作 a＝(x，y)，显然 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0) ． 3．平面向量的坐标运算(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1) ． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝ .4．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．2．当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0.4．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为.5．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为.6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)． 1．(2019·福州模拟)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a＋b 等于( )A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9)答案 D解析 2a＋b＝2×(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选 D.2．(2019·郑州模拟)设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，若 a，b 方向相反，则实数 x 的值是( )A．0 B．±2 C．2 D．－2答案 D解析 由题意可得 a∥b，所以 x2＝4，解得 x＝－2 或 2，又因为 a，b 方向相反，所以 x＝－2.故选 D.3．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，A 中向量 e1为零向量，C，D 中两向量共线，B 中 e1≠0，e2≠...
