第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.4.平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[常用结论与微点提醒]1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成＝.( )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底.(3)若 b＝(0，0)，则＝无意义.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.(老教材必修 4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－1)B.e1＝(－1，1)，e2＝(5，7)C.e1＝(2，5)，e2＝(4，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B.答案 B3.(新教材必修第二册 P33T1 改编)已知向量 a＝(－1，3)，b＝(2，1)，则 3a－2b＝( )A.(－7，7) B.(－3，－2)C.(6，2) D.(4，－3)解析 3a－2b＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7).答案 A4...
