数学中八种重要思维模式 波利亚说：“假如你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。假如一种解题方法是你通过自己的努力而掌握的，或者是你从别处学来或听来并真正理解了的，那么这种解法就可以成为你的一种模式，即在解类似问题时可用做模仿的一种模式”。波利亚在阐述他的数学思维模式时，总是从典型的问题出发，在解决它们的过程中逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升为更一般的模式，从而实质上就得到了数学思维模式。它们是解题思维过程的一般思路的程序化的概括。也就是从样例出发，抽象概括出一般模式，这些模式的意义是在于它们形成了后续思维活动中解决类似问题的通用思想方法。下面介绍常用的八种重要的思维模式：1 逼近模式：逼近模式就是朝着目标推移前进，逐步沟通条件与结论之间的联系而使问题解决的思维方式。其思维程序是：（1）把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎。（2）选择适当的方向逐步逼近目标。我们一般的分析法就是逼近模式。2 叠加模式叠加模式是运用化整为零,以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实施各个击破而使问题获解的思维方式,其思维程序是:(1)把问题归结为若干种并列情形的总和或者插入有关的环节构成一组小问题;(2)处理各种特别情形或解决各个小问题,将它们适当组合(叠加)而得到问题的一般解。上述意义下的叠加是广义的,可以从对特别情形的叠加,得到一般解,也可以分别解决子问题,将结果叠加得到问题的解;可以在条件与结论中间设立若干中途点,构成小目标把原问题分解成一串子问题,使前面问题的解决为后面问题的解决服务将结果叠加得问题的解;也可以引进中间的媒介或辅助元素以达到解决问题的目的。3 变换模式变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易,由繁化简,从而最终达到解决问题的思维方式,其思维程序是:(1)选择适当的变换,等价的或不等价的(加上约束条件),以改变问题的表达形式:(2)连续进行有关变换,注意整个过程的可控制性和变换的技巧,直至达到目标状态4 映射模式映射模式是把问题从本领域(或关系系统)映射到另一领域,在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维方式,它与变换模式在本质上是一致的,但变换通常是从一个数学集合到它自身的映射,它的思维程序是:关系→映射→定映→反演→得解5 方程模式方程模式(即函数模式)是通过列方程(或方程组)与解方程组来确定数学关系或解决数学问题的思维方...
