数学人教版八年级上册最短路径问题.4 最短路径问题.pptx 1、13.4 课题学习最短路径问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜见海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的学问回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl 将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线．B··Al 设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小〔如图〕．BAlC 例题 1：如下图：从 A 地到 B 地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？答：选择中间一条路线。理 2、由是：两点之间线段最短例题 2：如图，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P 解：连接 AB,与直线 l 相交于点 P 所以泵站建在点 P 可使输气管线最短 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？B·lA·总结阅历：事实上是通过轴对称变换，把A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。 作法：〔1〕作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；〔2〕连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？B·lA·B′C 你能用所学的学问证明 AC+ 3、BC 最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′〔与点 C 不重合〕，连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴ AC+BC＜AC′+BC′． 即 AC+BC 最短．B·lA·B′CC′ 练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ 山河岸大桥 基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点 R 4、，使 PR 与 QR 的和最小”．ABCPQ 山河岸大桥
