湖南高考理科压轴题答案 2025 年湖南高考理科 20. （本小题满分 3 13 分） 已知函数 2( ) ( , ), f x x bx c b c R 对任意的 x R ，恒有” ( )f x ( ) f x . （Ⅰ）证明：当 0 x 时，2( ) ( ) f x x c ； 意 （Ⅱ）若对满足题设条件的任意 b b ，c c ，不等式 2 2( ) ( ) ( ) f c f b M c b 恒成立，求 M 的最小值. 解：（Ⅰ）易知 ( ) 2 f x x b . 由题设，对任意的 2,2 x R x b x bx c ，即 2( 2) 0 x b x c b 恒成立，所以 2( 2) 4( ) 0 b c b ，从而 214bc . 于是 1 c ，且 22 14bc b ，所以 2 ( ) 0 c b c c b . 故当 0 x 时，有 2( ) ( ) (2 ) ( 1) 0 x c f x c b x c c . 即当 0 x 时，2( ) ( ) f x x c . 当 c b 时，由（Ⅰ）知， 2, 2 b c . 此时 ( ) ( ) 8 f c f b 或 0，2 20 c b ， 从而 2 23( ) ( ) ( )2f c f b c b 恒成立. 综上所述，M 的最小值为 32. [来源：学科网] 21 ．（本小题满分 13 分） 数列 *( )na n N 中，1 1,na a a 是函数 3 2 2 21 1( ) (3 ) 33 2n n nf x x a n x n a x 的微小值点. （Ⅰ）当 0 a 时，求通项na ； （Ⅱ）是否存有 a ，使数列 na 是等比数列？若存有，求 a 的取值范围；若不存有，请说明理由. 解：易知 2 2 2 2( ) (3 ) 3 ( 3 )( )n n n nf x x a n x n a x a x n . 令 21 2( ) 0 3 ,n nf x x a x n ，得 . （1）若 23na n ，则 当 3nx a 时， ( ) 0, ( )n nf x f x 单调递增； 当 23na x n 时， ( ) 0, ( )n nf x f x 单调递减； 当 2x n 时， ( ) 0, ( )n nf x f x 单调递增. 故 ( )nf x 在 2x n 取得微小值. 由此猜想：当...
