课后提升作业 十九 平面对量基本定理(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.若 e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面对量的基底的是 ( )A.e1-e2,e2-e1B.2e1+e2,e1+ e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2【解析】选 D.因为 e1-e2=-(e2-e1),所以 e1-e2与 e2-e1共线,又因为 2e1+e2=2,2e2-3e1=- (6e1-4e2),所以 2e1+e2与 e1+ e2共线,2e2-3e1与 6e1-4e2共线,故A,B,C 中的两个向量均不能作为基底.2.在△ABC 中,∠C=90°,BC= AB,则与的夹角是( )A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选 C.如图,作向量=,则∠BAD 是与的夹角,在△ABC 中,因为∠C=90°,BC= AB,所以∠BAC=30°,所以∠BAD=120°.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点,导致认为∠ABC 是与的夹角的错误.3.(2025·长沙高一检测)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,若以a,b 为基底,则=( )A.a- bB. a-bC.a+ bD. a+b【解析】选 D.连接 OD,CD,显然∠BOD=∠CAO=60°,则 AC∥OD,且 AC=OD,即四边形 CAOD 为菱形,故=+= a+b.4.(2025·平顶山高一检测)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 是 AE 的中点,若=a,=b,则等于( )A. a+ b B. a+ bC. a- b D. a- b【解析】选 A.== (+)==+= a+ b.5.(2025·北京高一检测)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则=( )A.4B.2C.1D.-2【解析】选 A.设 i,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则 a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),根据平面对量基本定理得 λ=-2,μ=- ,所以 =4.6.如图,在△ABC 中,=,P 是 BN 上的一点,若=m+,则实数 m 的值为( )A.1B. C.D.3【解析】选 C.因为 B,P,N 三点共线,所以∥,设=λ,即-=λ(-),所以=+ ①,又因为=,所以=4,所以=m+=m+ ②,对比①,②,由平面对量基本定理可得:m=⇒.7.(2025·衡阳高一检测)如图,在△ABC 中,|BA|=|BC|,延长 CB 到 D,使⊥,若=λ+μ,则λ-μ 的值是( )A.1B.3C.-1D.2【解析】选 B.因为在△ABC 中,||=||,⊥,所以 B 是 CD 的中点,所以==,所以 λ=2,μ=-1,所以 λ-μ=3.8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,两个非零向量,与 x 轴正半轴的夹角分别为和,向量满足++=0,则与 x 轴正半轴夹角取值范围是 ( )A.B.C.D.【解题指南】先由++=0 推知向量+与反向,然...
