【创新设计】2025-2025 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课 新人教版选修 2-2 题型一 分类讨论思想的应用例 1 实数 k 为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数．(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．(3)当即 k＝4 时，该复数为纯虚数．反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当 x＋yi 没有说明 x，y∈R 时，也要分情况讨论．跟踪训练 1 (1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )A．a＝－1 B．a≠－1 且 a≠2C．a≠－1 D．a≠2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当 a2－a－2≠0 时，已知的复数一定不是纯虚数，解得 a≠－1 且 a≠2；当 a2－a－2＝0 且|a－1|－1＝0 时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得 a＝2.综上所述，当 a≠－1 时，已知的复数不是一个纯虚数．(2)实数 x 取什么值时，复数 z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．解 ①当 x2－2x－15＝0，即 x＝－3 或 x＝5 时，复数 z 为实数；② 当 x2－2x－15≠0，即 x≠－3 且 x≠5 时，复数 z 为虚数；③ 当 x2＋x－6＝0 且 x2－2x－15≠0，即 x＝2 时，复数 z 是纯虚数；④ 当 x2＋x－6＝0 且 x2－2x－15＝0，即 x＝－3 时，复数 z 为零．题型二 数形结合思想的应用例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数分别为 1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点 C 所对应的复数 z.解 设 z＝x＋yi，x，y∈R，如图． OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即解得或. |OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故 z＝－5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．跟踪训练 2 已知复数 z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解 (1)|z1|＝|i(1－i)3...
