课时跟踪检测(五) 柱坐标系一、选择题1．设点 M 的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )A. B. C. D.解析：选 D ρ＝＝2，tan θ＝－，又 x>0，y<0，M 在第四象限，∴θ＝，∴柱坐标是.2．点 P 的柱坐标为，则点 P 与原点的距离为( )A. B．2 C．4 D．8解析：选 B 点 P 的直角坐标为(4，4，2)．∴它与原点的距离为：＝2.3．空间点 P 的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点 O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)答案：C4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于 z 轴对称点的柱坐标为( )A. B. C. D.解析：选 C (1,1,1)关于 z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.二、填空题5．设点 Μ 的柱坐标为，则点 Μ 的直角坐标为________．解析：x＝ρcos θ＝2cos＝.y＝ρsin θ＝2sin ＝1.∴直角坐标为(，1,7)．答案：(，1,7)6．已知点 M 的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．解析： ∵x＞0，y＝0，∴tan θ＝0，θ＝0.ρ＝＝1.∴柱坐标为(1,0,5)．答案：(1,0,5)7．在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝2 表示________．答案：中心轴为 z 轴，底半径为 2 的圆柱面三、解答题8．求点 M(1,1,3)关于 xOz 平面对称点的柱坐标．解：点 M(1,1,3)关于 xOz 平面的对称点为(1，－1,3)．由变换公式得ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tan θ＝＝－1，又 x＞0，y＜0，∴θ＝.∴其关于 xOz 平面的对称点的柱坐标为.9．已知点 M 的柱坐标为，求 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标．解：M 的直角坐标为∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tan θ＝＝1，又 x＜0，y＜0，∴θ＝.∴其柱坐标为.∴点 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标为.10．建立适当的柱坐标系表示棱长为 3 的正四面体各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点 B 为极点 O，选取以 O 为端点且与 BD 垂直的射线 Ox 为极轴，在平面 BCD 上建立极坐标系．过 O 点与平面 BCD 垂直的线为 z 轴．过 A 作 AA′垂直于平面 BCD，垂足为 A′，则|BA′|＝×＝，|AA′|＝＝，∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，则 A，B(0,0,0)，C，D.
