课时跟踪检测(十三) 用数学归纳法证明不等式举例1．用数学归纳法证明“对于任意 x>0 和正整数 n，都有 xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值 n0应为( )A．1 B．2C．1,2 D．以上答案均不正确解析：选 A 需验证 n0＝1 时，x＋≥1＋1 成立．2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3 C．5 D．6解析：选 C n 取 1,2,3,4 时不等式不成立，起始值为 5.3．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由 n＝k(k>1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是( )A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1解析：选 C 由 n＝k 到 n＝k＋1，应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k项．4．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足“当 f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若 f(1)<1 成立，则 f(10)<100 成立B．若 f(2)<4 成立，则 f(1)≥1 成立C．若 f(3)≥9 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k2成立D．若 f(4)≥16 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k2成立解析：选 D 选项 A、B 与题设中不等号方向不同，故 A、B 错；选项 C 中，应该是k≥3 时，均有 f(k)≥k2成立；选项 D 符合题意．5．证明<1＋＋＋…＋1)，当 n＝2 时，要证明的式子为________．解析：当 n＝2 时，要证明的式子为 2<1＋＋＋<3.答案：2<1＋＋＋<36．利用数学归纳法证明“…>”时，n 的最小取值 n0为________．解析：左边为(n－1)项的乘积，故 n0＝2.答案：27．设 a，b 均为正实数(n∈N*)，已知 M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则 M，N 的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令 x＝)．解析：当 n＝1 时，M＝a＋b＝N.当 n＝2 时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab22，不等式成立．② 假设当 n＝k(k≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2.则当 n＝k＋1 时，有左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)×＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). 当 k≥2 时，1＋＋…＋≥1＋＝...
