第四讲 数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个局部之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯穿，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。〞通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，稳固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，到达开发潜能，开展智力，提高能力的目的。从而培育创新精神和制造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要表达在：(1) 一题的多种解法例如 复数z 满足|z|=1，求|z−i|的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：① 运用复数的代数形式；② 运用复数的三角形式；③ 运用复数的几何意义；④ 运用复数模的性质〔三角不等式〕||z1|−|z2||≤|z1−z2|≤|z1|+|z2|；⑤ 运用复数的模与共轭复数的关系|z|2=z⋅z；⑥〔数形结合〕运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆 |z|=1与|z−i|=r 有公共点时，r 的最大值。(2) 一题的多种解释例如，函数式y=12 ax2可以有以下几种解释：① 可以看成自由落体公式s=12 gt2 .② 可以看成动能公式E=12 mv2.③ 可以看成热量公式Q=12 RI 2.又如“1这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷〞。xlM·yd图 4 － 2 －1O“1可以变换为：〞logaa, xx , sin2 x+cos2 x , (logab)⋅(logba), sec2 x−tg2 x，等等。1． 思维训练实例例 1 a2+b2=1, x2+ y2=1.求证：ax+by≤1.分析 1 用比拟法。此题只要证1−(ax+by)≥0.为了同时利用两个条件，只需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。证法 1 1−( ax+by)=12(1+1)−(ax+by)=12 (a2+b2+x2+ y2)−(ax+by )=12 [(a2−2ax+x2)+(b2−2by+ y2)]¿12 [(a−x)2+(b−y)2]≥0,所以 ax+by≤1.分析 2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写标准。证法 2 要证 ax+by≤1. 只需证 1−(ax+by)≥0,即 2−2(ax+by)≥0,因为 a2+b2=1, x2+ y2=1.所以只需证 (a2+b2+x2+ y2)−2(ax+by )...
