第 2 讲 递推数列及数列求和的综合问题 考点 1 由递推关系式求通项公式(1)累加法：形如 an＋1＝an＋f(n)，利用 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式．(2)累积法：形如＝f(n)≠0，利用 an＝a1···…·，求其通项公式．(3)待定系数法：形如 an＋1＝pan＋q(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为 an＋1－t＝p(an－t)，其中 t＝，再转化为等比数列求解．(4)构造法：形如 an＋1＝pan＋qn(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以 qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得 bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解．[例 1] 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.【解析】 (1)由题意得，当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又 a1＝2＝＋1，符合上式，因此 an＝＋1.(2) an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当 n＝1 时，a1＝1，上式也成立．∴an＝.(3) an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝.解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.(2) ＝2n，∴＝21，＝22，…，＝2n－1，将这 n－1 个等式叠乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，∴an＝2.(3) an＋1＝，取倒数得：＝＝＋，∴－＝， a1＝1，∴＝1，∴是以 1 为首项，为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)·＝，∴an＝.考点 2 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．[例 2] [2019·天津卷]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于 0.已知 a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足 cn＝求 a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.依题意，得解得...
