第 4 讲 基本不等式板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 重要不等式a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)(当且仅当 a ＝ b 时等号成立)．考点 2 基本不等式 ≤1．基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 ；2．等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时等号成立；3．其中叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数．考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值 2.(简记：“积定和最小”)2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值.(简记：“和定积最大”)[必会结论]常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤2(a，b∈R)；(3)2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于 4.( )(3)x>0，y>0 是＋≥2 的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.( )(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．[课本改编]已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则 ab 的最大值为( )A．1 B. C. D.答案 B解析 a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当 a＝b＝时等号成立．3．[课本改编]已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝＋的最小值是( )A. B．4 C. D．5答案 C解析 y＝(a＋b)＝≥，故选 C.4．[2018·苏州模拟]若 0≤x≤6，则 f(x)＝的最大值为( )A. B．4 C. D.答案 B解析 0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝≤＝4，当且仅当 x＝8－x，即 x＝4 时，等号成立．故 f(x)的最大值为 4.5．[课本改编]若 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝n 处取得最小值，则 n＝( )A. B．3 C. D．4答案 B解析 由 f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当 x－2＝>0，即 x＝3 时，取得等号．故选 B.6．[2018·上海模拟]若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2的最小值为________．答案 2解析 x2＋2y2≥2＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为 2.板块二 典例探究·考向突破考向 利用基本不等式求最值例 1 [2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则 2a＋b 的最小值为________．答案 8解析 直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1...
