高考数学大二轮复习 层级二 专题三 数列 第2讲 数列求和及综合应用教学案-人教版高三全册数学教学案VIP专享

第 2 讲 数列求和及综合应用 [考情考向·高考导航]1．已知数列递推关系求通项公式，主要考查利用 an与 Sn的关系求通项公式，利用累加法、累乘法及构造法求通项公式，主要以选择题、填空题的形式考查，有时作为解答的第(1)问考查，难度中等．2．数列求和常与数列综合应用一起考查，常以解答题的形式考查，有时与函数不等式综合在一起考查，难度中等偏上．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ)记 Sn为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 S6＝________.解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当 n≥2 时，Sn＝2an＋1 ①Sn－1＝2an－1＋1 ②①－②得 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1即＝2，∴数列{an}是首项为－1，公比为 2 的等比数列，∴S6＝＝－63.答案：－632．(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于 0，已知 a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足 cn＝求 a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，依题意，得解得故 an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以，{an}的通项公式为 an＝3n，{bn}的通项公式为 bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)＝3n2＋6×(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．记 Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n， ①则 3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝.所以 a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*)．[主干整合]1．数列通项(1)数列通项 an与前 n 项和 Sn的关系，an＝(2)应用 an与 Sn的关系式 f(an，Sn)＝0 时，应特别注意 n＝1 时的情况，防止产生错误．2．数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．1(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．热点一 求数列的通项公式[例 1] (1)(2020·临沂模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an...