第十四章 解 三 角 形一、正弦定理及其变式1.语言叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.2.公式表达:________________.3.变式:a∶b∶c=____________.二、余弦定理及其推论1.语言叙述:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2.公式表达:a2=________,b2=________________,c2=________________.3.推论:cos A=________,cos B=________,cos C=________.三、三角形的面积公式在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则 S△ABC= absin C=________=________.四、应用正、余弦定理解决实际问题热点一 正弦定理【例 1】(1)(2015·湖南学业水平考试真题)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 c=2a,sin A= ,则 sin C=________.(2)(2014·湖南学业水平考试真题)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知a=1,b=2,sin A= ,则 sin B=________.已知两边和其中一边的对角的三角形,可能存在一个、两个,也可能不存在.求角时,注意验证三角形的内角和为 π.热点二 余弦定理【例 2】(1)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a2=c2-b2+ba,则 C= ( )A.B.C.D.(2)(2015· 长 沙 学 业 水 平 模 拟 ) 在 △ ABC 中 ,a,b,c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 若a=b=1,C=120°,则 c=( )A.1B.C.D.3热点三 正弦定理和余弦定理的应用举例【例 3】(1)(2013·湖南学业水平考试真题)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点 A,B 到点 C 的距离 AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则 A,B两点间的距离为 ( )A.kmB.kmC.1.5kmD.2km(2)(2012·湖南学业水平考试真题)如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A,B 之间的距离,测量者在 A 的同侧选定一点 C,测得 A,C 之间的距离是 100 米,∠BAC=105°,∠ACB=45°,则 A,B 两点之间的距离为______米.一、选择题1.(考点 1)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B= ( )A.B.C. D.2.(考点 1)(2011·湖南学业水平考试真题)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,若 A=60°,B=45°,b=,则 a= ( )A. B.2 C.3 D.63.(考点 1)(2015·湖南师大学业水平模拟)已知△ABC 的面积为,AC=2,∠BAC=60°,则 BC= ( )A.B.C.D.34.(考点 1)在△ABC 中,asin Asin B+bcos2A=a,则 = ( )A.2B.2C. D.5.(考点 2)如图,为了测量隧道两...
