高考数学总复习 专题4.7 正弦定理和余弦定理导学案 理-人教版高三全册数学学案

第七节 正弦定理和余弦定理最新考纲1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R 为△ABC 外接圆半径)a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc ·cos A ；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca ·cos B ；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab ·cos C 变形形式(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝2.在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边 a 上的高)；(2)S＝absin C＝ac sin B ＝bc sin A ；(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．4. 三角形中的常见结论(1) A＋B＋C＝π，变形：＝－.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或 2A+2B=π⇔三角形为等腰或直角三角形；（5）三角形中的三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C；sin＝cos ； cos＝sin .典型例题考点一 正弦定理解三角形【例 1】 在△ABC 中，a＝，b＝，B＝45°.求角 A、C 和边 c.【答案】当 A＝60°时，C＝75°，c＝；当 A＝120°时，C＝15°，c＝.【解析】由正弦定理，得＝，即＝， ∴ sinA＝. a>b，∴ A＝60°或 A＝120°.当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.规律方法 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.【变式训练 1】在△ABC 中，(1) 若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则 b＝________．(2) 若 b＝3，c＝，C＝45°，则 a＝________．(3) 若 AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________．【答案】(1) 2.(2) 无解．(3) ∠A＝45°或 135°. 【解析】(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得 b＝＝＝2.(2) 由正弦定理得 sinB＝＝>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理＝，得＝，∴...