高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直学案 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 7 节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知 识 梳 理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分别为 n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0 [常用结论与微点提醒]1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a∥α.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )(4)若直线 a 的方向向量与平面 α 的法向量垂直，则 a∥α.( )解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α 或 aα.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材练习改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥β B.α⊥βC.α，β 相交但不垂直 D.以上均不对解析 n1≠λn2，且 n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β 相交但不垂直.答案 C3.若直线 l 的方向向量为 a＝(1，0，2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2，0，－4)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.lα D.l 与 α 斜交解析 a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即 a∥n.∴l⊥α.答案 B4.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A.(－1，1，1) B.(1，－1，...