高考数学大一轮复习第三章导数及其应用 3.2 第3课时导数与函数的综合问题学案理北师大版-北师大版高三全册数学学案

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第 3 课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式命题点 1 证明不等式典例 (2017·贵阳模拟)已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.证明 (1)由题意得 g′(x)＝(x>0)，当 01 时，g′(x)>0，即 g(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．所以 g(x)≥g(1)＝1，得证．(2)由 f(x)＝1－，得 f′(x)＝，所以当 02 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以 f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当 x＝2 时取等号)．①又由(1)知 x－ln x≥1(当且仅当 x＝1 时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x－ln x)f(x)>1－.命题点 2 不等式恒成立或有解问题典例 (2018·大同模拟)已知函数 f(x)＝.(1)若函数 f(x)在区间上存在极值，求正实数 a 的取值范围；(2)如果当 x≥1 时，不等式 f(x)≥恒成立，求实数 k 的取值范围．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝－，令 f′(x)＝0，得 x＝1.当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增加的；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．所以 x＝1 为函数 f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以 00，所以 g(x)是增加的，所以 g(x)≥g(1)＝2，故 k≤2，即实数 k 的取值范围是(－∞，2]．引申探究本例(2)中若改为：存在 x∈[1，e]，使不等式 f(x)≥成立，求实数 k 的取值范围．解当 x∈[1，e]时，k≤有解，令 g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知，g(x)是增加的，所以 g(x)max＝g(e)＝2＋，所以 k≤2＋，即实数 k 的取值范围是.思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法证明 f(x)

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