椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率得三种求法:(1)若给定椭圆得方程,则根据焦点位置确定 a2,b2,求 a,c 得值,利用公式 e＝或利用直接求解、(2)求椭圆得离心率时,若不能直接求得得值,通常由已知寻求 a,b,c 得关系式,再与 a2＝b2＋c2组成方程组,消去 b 得只含 a,c 得方程,再化成关于 e 得方程求解、(3)求离心率时要充分利用题设条件中得几何特征构建方程求解,从而达到简化运算得目得、涉及椭圆离心率得范围问题要依据题设条件首先构建关于 a,b,c 得不等式,消去 b 后,转化为关于 e 得不等式,从而求出 e 得取值范围、1、 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)得左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2被点分成 5∶3 得两段,则此椭圆得离心率为( )A、 B、 C、 D、解析 依题意,得＝,∴c＝2b,∴a＝＝b,∴e＝＝、 答案 D点评 本题得解法就是直接利用题目中得等量关系,列出条件求离心率、2、 设 P 就是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上得一点,F1,F2就是其左,右焦点、已知∠F1PF2＝60°,求椭圆离心率得取值范围、分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围得求法,建立不等关系就是解答此类问题得关键、解 方法一 根据椭圆得定义,有|PF1|＋|PF2|＝2a、①在△F1PF2中,由余弦定理,得cos 60°＝＝,即|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝|PF1||PF2|、②① 式平方,得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2、③由②③,得|PF1||PF2|＝、④由①与④运用基本不等式,得|PF1||PF2|≤,即≤a2、由 b2＝a2－c2,得(a2－c2)≤a2,解得 e＝≥、又 e＜1,∴该椭圆得离心率得取值范围就是[,1)、方法二 如图,设椭圆与 y 轴交于 B1,B2两点,则当点 P 位于 B1或 B2处时,点 P 对两焦点得张角最大,故∠F1B2F2≥∠F1PF2＝60°,从而∠OB2F2≥30°、在 Rt△OB2F2中,e＝＝sin ∠OB2F2≥sin 30°＝、又 e＜1,∴≤e＜1、∴该椭圆得离心率得取值范围就是[,1)、点评 在求椭圆离心率得取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率得取值范围,建立不等关系得途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在得不等关系(如基本量之间得大小关系或基本量得范围,点与椭圆得位置关系所对应得不等关系,椭圆上点得横、纵坐标得有界性等),判别式,极端情况等等、如上面方法二就应用了“当点 P 运动到短轴得端点时,点 P 对两焦点得张角最大”这一极端情况、(2025 全国Ⅰ高考)直线经过椭圆得一个顶点与一个焦点,若椭圆得中心到得距离为短轴长得,则该椭圆得离心率为( B )A. B、 C、 D、解:设椭圆就是焦点在 x 轴上得标准...