第 2 课时 直线与椭圆的位置关系 考点一 直线与椭圆的位置关系判断【例 1】 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．【解】 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当 Δ>0，即－33 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．方法技巧研究直线与椭圆位置关系的方法1研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.2对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系为( A )A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．考点二 弦长问题【例 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线 AB 的方程．【解】 (1)由题意知 e＝＝，2a＝4.又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)① 当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．② 当 两 弦 所 在 直 线 的 斜 率 均 存 在 且 不 为 0 时 ， 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ＝ k(x －1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝－(x－1)．将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则 x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得 k＝±1，所以直线 AB 的方程为 x－y－1＝0 ...
