（山东专用）2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12.1 不等式恒成立与有解问题学案（含解析）-人教版高三全册数学学案

第十二节 导数破解疑难优质课 第 1 课时 不等式恒成立与有解问题1．“恒成立问题”与“有解问题”的区别(1)两者在量词上的区别恒成立问题中使用的量词是全称量词，如“任意、所有、全部、均、恒、总、都”等；而有解问题中使用的量词是特称量词，如“存在、至少一个、有解”等．(2)两者在等价转换上的区别恒成立问题的转化：①f(x)>0 恒成立⇔f(x)min>0；f(x)<0 恒成立⇔f(x)max<0.②f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a；f(x)g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min>0；f(x)0 有解⇔f(x)max>0；f(x)<0 有解⇔f(x)min<0.②f(x)>a 有解⇔f(x)max>a；f(x)g(x)有解⇔[f(x)－g(x)]max>0；f(x)0 时，函数 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．【解】 (1)若 a＝1，则 f(x)＝xex－2(2x－1)．即 f′(x)＝xex＋ex－4，则 f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为 3x＋y－2＝0.(2)由 f(1)≥0，得 a≥>0，则 f(x)≥0 对任意的 x>0 恒成立可转化为≥对任意的 x>0 恒成立．设函数 F(x)＝(x>0)，则 F′(x)＝－.当 00；当 x>1 时，F′(x)<0.所以函数 F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 F(x)max＝F(1)＝.于是≥，解得 a≥.故实数 a 的取值范围是.方法技巧(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x))对∀x∈D 恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或 f(a)≤g(x)min)求最值关求函数 g(x)在区间 D 上的最大值(或最小值)问题已知函数 f(x)＝，且对任意的 x∈(0,2)，都有 f(x)<成立，求 k 的取值范围．解：由题意知 f(x)＝<对任意的 x∈(0,2)都成...