第三课时 定点、定值、探索性问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线的定值问题——自主练透例 1 (2018·北京高考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)经过点 P(1,2)．过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N
(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．[解析] (1)因为抛物线 y2＝2px 过点(1,2)，所以 2p＝4，即 p＝2
故抛物线 C 的方程为 y2＝4x，由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0
设直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0)．由得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0
依题意 Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得 k0，①又 x1＋x2＝－，x1x2＝，y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，由 kOA·kOB＝－，可得＝－，∴y1·y2＝－x1x2，＝－·，∴2m2－4k2＝3，满足①， |AB|＝＝＝，∴S△OAB＝·d·|AB|＝××＝为定值
