第三课时 定点、定值、探索性问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线的定值问题——自主练透例 1 (2018·北京高考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)经过点 P(1,2)．过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．[解析] (1)因为抛物线 y2＝2px 过点(1,2)，所以 2p＝4，即 p＝2.故抛物线 C 的方程为 y2＝4x，由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0)．由得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意 Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得 k<0 或 0b>0)的左右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y＝x＋3 相切，点 P 在椭圆 C 上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 kOA·kOB＝－，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．[解析] (1)依题意有 b＝＝，∴b2＝3，由|PF1|＝2 及椭圆的定义得|PF2|＝2a－2，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即 a2－3a＋3＝c2，又 a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，故椭圆的方程为＋＝1.(2)联立可得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则 Δ＝3＋4k2－m2>0，①又 x1＋x2＝－，x1x2＝，y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，由 kOA·kOB＝－，可得＝－，∴y1·y2＝－x1x2，＝－·，∴2m2－4k2＝3，满足①， |AB|＝＝＝，∴S△OAB＝·d·|AB|＝××＝为定值...
