第三讲 平面向量的数量积ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一 向量的夹角两个非零向量 a 与 b，过 O 点作OA＝a，OB＝b，则__∠ AOB __叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是__[0 ， π] __.a 与 b 的夹角为____时，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.知识点二 平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝__| a || b |cos θ __，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角．① 数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__x1x2＋ y 1y2__.② 模：|a|＝＝____.③ 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝.④ 夹角：cos θ＝____＝.⑤ 已知两非零向量 a 与 b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋ y 1y2＝ 0 __；a∥b⇔a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.(2)平面向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0 而 0·a＝0.2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．a·b 中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2.4．两向量 a 与 b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a 与 b 不共线；两向量 a 与 b 的夹角为钝角⇔a·b<0，且 a 与 b 不共线．当 a、b 为非零向量时 a、b 同向⇔a·b＝|a||b|；a、b 反向⇔a·b＝－|a||b|.5．a 在 b 方向上的投影|a|·cos θ＝.题组一 走出误区1．(多选题)下列命题错误的是( BCD )A．一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量B．a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角C．在等边三角形 ABC 中，向量AB与BC的夹角为 60°D．(a·b)·c＝a·(b·c)题组二 走进教材2．(必修 4P107T2 改编)(2020·辽宁鞍山一中模拟)向量 a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( A )A．6 B．5 C．1 D．－6[解析] 由题意知 2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，...
