（山东专用）新高考数学二轮复习 板块1 命题区间精讲 精讲19 高考中的创新应用题学案（含解析）-人教版高三全册数学学案

高考中的创新应用题命题点 1 与高等数学巧接轨 [高考题型全通关]1．[极限思想]我国古代数学家刘徽提出的割圆术为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”虽然代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方程＝x 确定出 x＝2，类似地，不难得到 1＋＝( )A． B．C． D．C [依题意得 1＋＝x(x＞0)，解得 x＝或 x＝(舍去)，所以 1＋＝，故选 C．]2．[多选][特征函数]若对于定义在 R 上的函数 f (x)，其图象是连续不断的，且存在常数 λ(λ∈R)使得 f (x＋λ)＋λf (x)＝0 对任意的实数 x 都成立，则称 f (x)是“λ～特征函数”．下列结论中正确的是( )A．f (x)＝0 是常数函数中唯一的“λ～特征函数”B．f (x)＝2x＋1 不是“λ～特征函数”C．“～特征函数”至少有一个零点D．f (x)＝ex是“λ～特征函数”BCD [对于 A，设 f (x)＝C，C 为常数，当 λ＝－1 时，f (x＋λ)＋λf (x)＝0 恒成立，所以函数 f (x)＝C 是“λ～特征函数”，所以 f (x)＝0 不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，所以 A 不正确．对于 B，函数 f (x)＝2x＋1，则 f (x＋λ)＋λf (x)＝2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0，即2(λ＋1)x＝－3λ－1，当 λ＝－1 时，f (x＋λ)＋λf (x)＝－2≠0，当 λ≠－1 时，方程 2(λ＋1)x＝－3λ－1 有唯一的解，所以不存在常数 λ(λ∈R)使得 f (x＋λ)＋λf (x)＝0 对任意的实数 x 都成立，所以函数 f (x)＝2x＋1 不是“λ～特征函数”，所以 B 正确．对于 C，当 λ＝时，令 x＝0，可得 f ＋f (0)＝0，所以 f ＝－f (0)，若 f (0)＝0，显然 f (x)＝0 有实数根，若 f (0)≠0，f ·f (0)＝－2＜0，又函数 f (x)的图象是连续的，所以 f (x)＝0 在上必有实数根，即“～特征函数”至少有一个零点，所以 C 正确．对于 D，假设 f (x)＝ex是“λ～特征函数”，则 ex＋λ＋λex＝0 对任意的实数 x 成立，即 eλ＋λ＝0 对任意的实数 x 成立，而此式有解，所以 f (x)＝ex是“λ～特征函教”，所以 D 正确．]3．[高斯函数](2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝...