导数阅卷案例思维导图(2020·全国卷Ⅰ，T21，12 分)已知函数 f (x)＝ex＋ax2－x.(1)当 a＝1 时，讨论 f (x)的单调性；(2)当 x≥0 时，f (x)≥x3＋1，求 a 的取值范围.本题考查：函数的单调性、导数的应用、不等式恒成立等知识，数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.答题模板标准解答踩点得分第 1 步：求导利用导数运算法则求解.第 2 步：判断单调性依据 f ′(x)的符号同 f (x)的关系求得，必要时可二次求导.第 3 步：分离变量对于恒成立问题常采用分离参数法.第 4 步：讨论分离后的函数单调性对于分离后的函数其单调性常采用进一步求导的方式判断.第 5 步：得结论结合单调性及最值写出参数的范围.←←←←第(1)问得分点及说明：1.正确求导得 1 分.2.利用导数研究 f ′(x)的单调性得 1 分.3.f (x)的单调性正确得 1 分.第(2)问得分点及说明：1.正确讨论 x＝0 的情形得1 分.2.当 x＞0 时，正确分离参数 a 得 1 分.3.对 h(x)正确求导得 1 分.4.正确得出 m(x)的单调性得 3 分.5.正确得出 h(x)单调性得 1分.6.正确求出 h(x)的最大值得1 分.7.正确得出参数 a 的范围得1 分.命题点 1 导数的简单应用 利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等．注意：若可导函数 f (x)在区间 D 上单调递增，则有 f ′(x)≥0 在区间 D 上恒成立，但反过来不一定成立．[高考题型全通关]1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数 f (x)＝2ln x＋1.(1)若 f (x)≤2x＋c，求 c 的取值范围；(2)设 a>0，讨论函数 g(x)＝的单调性．[解] 设 h(x)＝f (x)－2x－c，则 h(x)＝2ln x－2x＋1－c，其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝－2.(1)当 00；当 x>1 时，h′(x)<0.所以 h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减．从而当 x＝1 时，h(x)取得最大值，最大值为 h(1)＝－1－c.故当且仅当－1－c≤0，即 c≥－1 时，f (x)≤2x＋c.所以 c 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)g(x)＝＝，x∈(0，a)∪(a，＋∞)．g′(x)＝＝.取 c＝－1 得 h(x)＝2ln x－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当 x≠1 时，h(x)<0，即 1－x＋ln x<0.故当 x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－＋ln <0，从而 g′(x)<0.所以 g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减．2．设函数 f (x)＝ex－ax＋，a>0.(1)若曲线 y...
