（同步课堂）2013-2014学年高中数学 3.1 正整数指数函数名师考点精讲 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014 学年高中数学 3.1 正整数指数函数名师考点精讲 北师大版必修 1[读教材·填要点]1．定义一般地，函数 y＝a x (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中 x 是自变量(x 在指数位置上)，底数 a 是常数．2．图像特征正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在 x 轴的上方的一群孤立的点．[小问题·大思维]1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？提示：有三个特征：底数 a 为常数；指数为自变量 x；系数为 1.2．正整数指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的单调性与底数 a 的大小有何关系？提示：当 0＜a＜1 时，y＝ax是减少的，当 a＞1 时，y＝ax是增加的．[研一题][例 1] 若函数 y＝(a2－3a＋3)·(2a－1)x是正整数指数函数，则实数 a 的值是________．[自主解答] 由正整数指数函数的定义可知：即∴a＝2.[答案] 2[悟一法]正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．[通一类]1．若函数 f(x)＝(a2－4a＋4)·ax(x∈N＋)为正整数指数函数，则 f(4)＝________．解析：由正整数指数函数的定义可知：即 ∴a＝3.∴f(x)＝3x，故 f(4)＝34＝81.答案：81[研一题][例 2] 画出函数：(1)y＝()x，(2)y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．[自主解答] 1在同一坐标系中分别画出函数 y＝()x和 y＝()x(x∈N＋)图像如图所示．由图像知：函数 y＝()x(x∈N＋)是增加的；而 y＝()x(x∈N＋)是减少的．[悟一法](1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当 0＜a＜1 时，y＝ax(x∈N＋)是减函数．当 a＞1 时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．[通一类]2．画出函数(1)y＝2x(x∈N＋)；(2)y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明它们的单调性．解：(1)函数 y＝2x(x∈N＋)的图像如下图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；(2)函数 y＝()x(x∈N＋)的图像如下图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．[研一题][例 3] 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年，剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量 y 随时间 x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．[自主解答] (1)设这种物质最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y.经过 1 年，剩留...