第 6 课时 从力做功到向量的数量积1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上,如图所示,当小车前进了 s时,你能算出天鹅对小车所做的功吗?问题 1: (其中 θ=
,称为向量 a、b 的夹角)叫作向量 a、b 的数量积(或 ),记作 a·b,即 . 把|a|cos θ 叫作向量 a 在 b 方向上的 . 如图,=a,=b,过点 A 作 AA1垂直于直线 OB,垂足为 A1,则 OA1=|a|cos θ.投影是一个数量,不是向量;当 θ 为锐角时,它是 值;当 θ 为钝角时,它是 ;当 θ=90°时,它是 ;当 θ=0°时,它是 ;当 θ=180°时,它是 . 问题 2:向量与物理学中一些矢量的关系向量是既有 又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点(即与作用点 );力也是既有 又有 的量,且作用于 作用点(即力与作用点 ).用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上. 物理学中,速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的 也用到向量的 ;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体 的乘积,它的实质是 . 1(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即 ,功是一个 ,它可以是 、负数或 0. (2)在解决问题时要注意数形结合.问题 3:向量数量积的运算律已知向量 a、b、c 和实数 λ,则(1)a·b= (交换律); (2)(λa)·b= = (对实数的结合律); (3)(a+b)·c= (分配律). 问题 4:向量数量积的性质:(1)如果 e 是单位向量,则 a·e=e·a= ; (2)非零向量 a,b,a⊥b⇔ ;(3)a·a= 或|a|= ; (4)cos= ; (5)|a·b|≤|a||b|.1.已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 90°,且 c=2a+3b,d=ka-4b,若 c⊥d,则实数 k 的值为( ).A.6 B.-6 C.3 D.-32.已知点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若⊥a,则实数 k 的值为( ).A.-2B.-1C.1 D.23.已知向量 a、b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量 a 和 b 的夹角是 . 4.设 x、y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,求|a+b|.2向量数量积的概念已知 a、b、c 是非零向量,有下列三个说法:(1)若|b|=|c|,则|a·b|=|a·c|;(2)(a·b)|c|=|a|(b·c);(3)若|a·b|=|a||b|,则 a∥b....
