第 3 课时 从速度的倍数到数乘向量1.掌握实数与向量积的定义及几何意义. 2.了解数乘运算的运算律,理解向量共线的条件.3.了解向量的线性运算及其几何意义.4.掌握向量共线的判定定理和性质定理,并能熟练运用定理解决向量共线问题.一条细绳横贯东西,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,若蚂蚁从点 O 向正东方向运动一秒钟的位移对应的向量为 a,在图中作出同一方向上 3 秒钟的位移对应的向量,你能用式子表示吗?它是数量还是向量?蚂蚁向西运动 3 秒钟的位移对应的向量又怎样表示?问题 1:数乘向量我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ,这种运算叫作向量的数乘. 问题 2:数乘向量的性质λa 的长度和方向规定如下:(1)|λa|= ; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与向量 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与向量 a 的方向相反;当 λ=0 或 a=0 时,λa=0,且方向任意.问题 3:设 λ,μ 为实数,a,b 为任意向量则有:(1)λ(μa)= ; (2)(λ+μ)a= ; (3) =λa+λb. 问题 4:向量共线的定理向量共线的判定定理:a 是一个非零向量,若存在一个 ,使得 ,则向量 b 与非零向量 a 共线. 向量共线的性质定理:若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在 实数 λ,使得b=λa. 1.设 λ,μ∈R,则下列说法不正确的是( ).A.λ(μa)=μ(λa)B.(λ-μ)a=λa-μaC.λ(a-b)=λa-λbD.λa(λ≠0)的方向与向量 a 的方向相同2.已知 e1与 e2不共线,则下列向量 a 与 b 不共线的是( ).1A.a=3e1,b=-2e1B.a=e1+e2,b=-e1+e2C.a=-3e1+e2,b=-9e1+3e2D.a=-e1+2e2,b=2e1-4e23.化简:(1)2×(-3a)= . (2)2(a+b)-3(2a-b)= . 4.设 e1、e2是两个不共线的向量,已知 a=3e1+5e2,b=me1-3e2,且 a 与 b 共线,求 m 的值.数乘向量的定义及运算律化简下列各式:(1)5(3a-2b)+4(2a+3b);(2)(x-y)(a+b)-(x+y)(a-b).利用向量共线定理解决三点共线问题已知非零向量 a,b 不共线,如果=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线.共线向量性质的综合应用2已知 e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,在何条件下,向量 a 与 b 共线.化简: [(4a-3b)+ b- (6a-7b)].设 e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值.证明平面内四点 O、A、B、C 不共线,向量、、的终点 A、B、C 共线,则存在实数λ 、μ,且 λ+μ=1,使得=λ+μ,反之也成立.1.如图,MN 是△ABC 的中位线,则( ).3A.=B.=C.=D.=2.已知 a,b 是...
