第 5 课时 平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为 υ. 能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题 1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底 e1、e2 时的情况. 问题 2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,a 为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点 O 为起点作=a,由平面向量基本定理可知, 一对实数 x,y,使得= ,因此 a=xi+yj.我们把实数对 叫作向量 a 的坐标,记作 . 问题 3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= . 即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a-b= . 即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设 λ∈R,a=(x,y),则 λa= . 1即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= . 即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题 4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若 a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得 .设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)= ,得即两式相减消去 λ 得 ,这就是两个向量平行的条件.由于规定 向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉 b≠0,即:当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b共线.若 x2≠0,且 y2≠0(也可写作 x2y2≠0),则 x1y2-x2y1=0 可以写成 (两向量平行的条件是相应坐标 ). 1.已知 i、j 分别为与 x 轴正方向、y 轴正方向相同的两个单位向量,若 a=(3,4),则 a 可以用i、j 表示为( ).A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( ).A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设 a=(1,2),b=(2,3),若...
