第 7 课时 正切函数的图像与性质及其应用1
了解利用正切线画出正切函数图像的方法
了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题
掌握正切函数的性质
常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线,研究了正弦、余弦函数的图像,利用正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质,今天我们使用类似的方法来探讨正切函数的图像及性质
问题 1:正切函数及相关概念(1)正切函数的定义在直角坐标系中,角 α 满足:α∈R,且 α≠ ,角 α 的终边与单位圆交于点 P(a,b),则比值 叫作角 α 的正切函数,记作 y=tan α(α∈R,且 α≠+kπ,k∈Z)
(2)正切函数与正、余弦函数的关系tan α= (α∈R,且 α≠ +kπ,k∈Z)
(3)正切线的定义在直角坐标系中,设单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1,0),过点 A 作 x 轴的垂线,与角α 的 相交于 T 点,则称 为角 α 的正切线
问题 2:正切曲线的图像及其特点(1)y=tan x(x∈R,且 x≠ +kπ,k∈Z)的图像
(2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的,它不具有有界性,向上和向下都是无限延伸的
1问题 3:(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法:类似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里三个点为 , , ,两线为直线 、 (其中 k∈Z),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到 y=tan x 在一个周期上的简图
(2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是
正切函数 对称轴
问题 4:正切函数的性质(1)正切函数 y=tan x 的定义域是 ,值域为
(2)正切函数 y=tan x 的图像与 x 轴的交点的横坐标是
(3)正切函数 y=tan x 在每一个开
