第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了 5 个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例 1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当① a∥b，② a⊥b，③ a 与 b 的夹角是 60°时，分别求 a·b.分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出 a·b.解：①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 ＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；若 a 与 b 反向，则它们的夹角 θ＝180°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；② 当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°，∴a·b＝0；③ 当 a 与 b 的夹角是 60°时，有a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 a∥b 时，有 0°或 180°两种可能.［例 2］已知 a、b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求 a 与b 的夹角.分析：要求 a 与 b 的夹角，只要求出 a·b 与｜a｜，｜b｜即可.解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0 ①又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0②①－②得：46a·b＝23b2即有 a·b＝b2＝｜b｜2，将它代入①可得：7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜∴若记 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝＝＝又 θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以 a 与 b 的夹角为 60°.［例 3］四边形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且 a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问1四边形 ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为：一方面： a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝...
