第 4 讲 解析几何■真题调研——————————————【例 1】 [2019·天津卷]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在y 轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O 为原点)，且 OP⊥MN，求直线 PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b＝4，＝，又 a2＝b2＋c2，可得 a＝，b＝2，c＝1.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设 P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线 PB 的斜率为 k(k≠0)，又 B(0,2)，则直线 PB 的方程为 y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得 xP＝－，代入 y＝kx＋2 得 yP＝，进而直线 OP 的斜率＝.在 y＝kx＋2 中，令 y＝0，得 xM＝－.由题意得 N(0，－1)，所以直线 MN 的斜率为－.由 OP⊥MN，得·＝－1，化简得 k2＝，从而 k＝±.所以，直线 PB 的斜率为或－.【例 2】 [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为的直线 l 与 C的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求 l 的方程；(2)若AP＝3PB，求|AB|.解：设直线 l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得 F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得 x1＋x2＝.由可得 9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则 x1＋x2＝－.从而－＝，得 t＝－.所以 l 的方程为 y＝x－.(2)由AP＝3PB可得 y1＝－3y2.由可得 y2－2y＋2t＝0.所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.代入 C 的方程得 x1＝3，x2＝.故|AB|＝.【例 3】 [2019·全国卷Ⅱ]已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与BM 的斜率之积为－.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连接QE 并延长交 C 于点 G.(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形；(ⅱ)求△PQG 面积的最大值．解：(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx(k＞0)．由得 x＝±.记 u＝，则 P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线 QG 的斜率为，方程为 y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. ①设 G...
