第五课时 向量的数乘(二)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用.教学难点：实数与向量积的运用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.Ⅱ.讲授新课［例 1］已知ABCD，E、F 分别是 DC 和 AB 的中点，求证：AE∥CF.证明：因为 E、F 为 DC、AB 的中点，∴DE＝DC，BF＝BA，由向量加法法则可知：AE＝AD＋DE＝AD＋DC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA. 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD＝－CB，DC＝－BA，∴AE＝－CB－BA＝－(CB＋BA)＝－CF ∴AE∥CF， ∴AE∥CF ［例 2］已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，证明 AO＝OC，BO＝OD.分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明： A、O、C 三点共线，B、O、D 三点共线，∴存在实数 λ 和 μ，使得AO＝λAC，BO＝μBD.设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BD＝b－a∴AO＝λ(a＋b)，BO＝μ(b－a).又 AB＋BO＝AO，∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，又 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理，，∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD，即 AO＝OC，BO＝OD.［例 3］已知 G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).证明：如图，设△ABC 三条中线分别为 AM、BK 和 CL，则易知 AM＝3GM，由向量中线公式有：GM＝ (GB＋GC)，AM＝ (AB＋AC)，∴GB＋GC＝ (AB＋AC)①同理可得GA＋GB＝ (CA＋CB)②GA＋GC＝ (BA＋BC)③由式①＋②＋③得：2(GA＋GB＋GC)＝ (AB＋BA＋AC＋CA＋CB＋BC)＝0∴GA＋GB＋GC＝01∴3PG＝PG＋PG＋PG＝(PA＋AG)＋(PB＋BG)＋(PC＋CG)＝(PA＋PB＋PC)＋(AG＋BG＋CG)＝PA＋PB＋PC∴PG＝ (PA＋PB＋PC). ［例 4］AD、BE、CF 是△ABC 的中线，若直线 EG∥AB，FG∥BE.求证：AD ∥GC.证明：如图，因为四边形 BEGF 是平行四边形.所以FB＝GE又因为 D 是 BC 的中点，所以BD＝DC，所以AD－AB＝AC－AD，所以AD＝ (AB＋AC)＝FB＋EC＝GE＋EC＝GC所以 AD ∥GC.［例 5］设四边形 ABCD 的两对角线 AC、BD 的中点分别是 E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).证明：如图， EF＝EA＋AB＋BF，EF＝EC＋CD...
