三、压轴题专练(一)1
如图，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线x＋y＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．解(1)由题意可知F(－c,0)， e＝，∴b＝c，即B(0，c)， kBF＝＝，又 BC⊥BF，∴kBC＝－，∴C(3c,0)，圆M的圆心坐标为(c,0)，半径为2c，由直线x＋y＋3＝0与圆M相切可得＝2c，∴c＝1
∴椭圆的方程为＋＝1
(2)假设存在满足条件的点N(x0,0)由题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， NF为△PNQ的内角平分线，∴kNP＝－kNQ，即＝－，∴＝⇒(x1＋1)(x2－x0)＝－(x2＋1)(x1－x0)．∴x0＝
又∴3x2＋4k2(x＋1)2＝12
∴(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝
∴x0＝＝－4，∴存在满足条件的点N，点N的坐标为(－4,0)．2
设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，当m≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m>0时，f′(x)＝，当00时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，当m＝0时，F(x
