第三章 微分中值定理与导数的应用【考试要求】1. 掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义.2. 熟练掌握洛必达法则求“°/°"、" / ”、“0"、“"、"1 ”、“°。，，和“。”型未定式极限的方法.3. 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式.4. 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值(最大值和最小值)的方法，并且会解简单的应用问题.5. 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点.6. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.【考试内容】一、微分中值定理1.罗尔定理假如函数 y f (x)满足下述的三个条件：(1) 在闭区间［a，b］上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f(a) f(b),那么在(a，b) 内至少有一点(ab)＞得 f() °.说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)，即若 f (x。)。，则称点 x。为函数 f(x)的驻点.2.拉格朗日中值定理假如函数 yf(x)满足下述的两个条件：(1) 在闭区间［a，b］上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点 (a b)，使得下式(拉格朗日中值公式)成立：f (b)f (a)f ( ) b a).说明:当 f(b) f ("时，上式的左端为零，右端式& a)不为零，则只能 f() °，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特别情形.此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理.3.两个重要推论(1) 假如函数 f(x)在区间 1上的导数恒为零，那么 f (x)在区间 1上是一个常数.证：在区间 I 上任取两点 x、x (假定 x x，x x同样可证)，应用拉格朗日中值. I—I—- I q -1 I—小、 1、2 \12 ， 12 I 寸 I I 7 / ， /—」/ 7 j—L- |1 i i-t-i-公式可得f (x ) f (x)f ( ) x x ) (x x)212112由假定，f()。，所以 f(x2)f(x1)°，即 f(x2)f(x1).因为 X］、x2是 1上任意两点，所以上式表明 f (x)在区间 1上的函数值总是相等的，即 f (x)在区间 1上是一个常数.(2) 假如函数 f仪)与 g (x)在区间(a，b)内的导数恒有 f (x) g (x)，则这两个函数在(a，b)内至多相差一个常数，即 f(x) g(x) c (C 为常数).证：设 F (x) f (x) g (x)，则 F (x) ［f (x) g (x)］ f (x) g (x) °，根据上面的推论(1)可得，F(X)c，即 f (x)g(x) C，故 f(x) g(x) c .二、...
