《初等数论》习题集第 1 章第 1 节1.证明定理 1.2.证明：若 Imn q,贝 U m-p mq np.3.证明：任意给定地连续 39 个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数地数字和能被 11 整除.b5E2R4.设 P 是 n 地最小素约数，n=p 捋山>1，证明：若 p > —，贝 U 牛是素数.5.证明：存在无穷多个自然数 n,使得 n 不能表示为a2巾 3 > 0 是整数，p 为素数)地形式.第 2 节4321.证明：12 n 2n 11n 10n nA2.设 3 a2 b2,证明：3 a 且 3 |b.3.设 n, k 是正整数，证明：nk与 nk + 4地个位数字相同.4.证明：对于任何整数 n, m,等式 n21n)2 =m2 2 不可能成立.5.设 a 是自然数，问 a4 - 3a -是素数还是合数？6.证明：对于任意给定地 n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被 n 整除.第 3 节1.证明定理 1 中地结论(i)— (iv).2.证明定理 2 地推论 1,推论 2 和推论 3.3.证明定理 4 地推论 1 和推论 3.4.设 x,疔 Z , 17 12x 3y,证明：17 9x 5y.5.设 a, b, c N, c 无平方因子，a2 b2c,证明：a b.6. n 是--整- 地最大公约数.第 4 节1.证明定理 1.2.证明定理 3 地推论.3.设 a, b 是正整数，证明：(a b)[a, b] = a[b, a b].4.求正整数 a, b,使得 a b = 120 (a, b) = 2,4 [a, b] = 144.4.设 n 是正整数，求方程5. 设 a, b, c 是正整数，证明:6. 设 k 是正奇数，证明：1 - ^ ^ 9 1k- 2、9k.—k1.个事实地依据2.(1387,162).说明例 1 证明中所用到地四用辗转相除法求整数 x, y,使得 1387x-162y =3. 计算:(27090,21672, 11352).4.使用引理 1 中地记号，证明：(Fn+ ],财=1.5.若四个整数 2836 , 4582 , 5164 , 6522 被同一个大于 1 地整数除所得地余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？p1EanMn=2n_1,证明：对于正整数b，有(Ma, Mb)= M(a, b・)6.记a，1.2.3.4.整除.证明定理 1 地推论 1.证明定理 1 地推论 2.写出 22345680证明：在 1,2,地标准分解式,2n 中任取 nT 数,其中至少有一个能被另一个5.证明：.x |(n_2)不是整数.6.a2, S， b2,使得a = 3^2， b = b]b2， (a2,b2) = 1设 a, b 是正整数，证明：存在 a1?并且[a,b] = ?b2.第 7 节1.2.证明定理 1.求使 12347!被 35k整除地最大地 k 值.3.设 n 是正整数，x 是实数，证明:=n.X -[x] =X-...
