第十节导数的概念及其运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2015·郑州一中调研)若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)=()A.-2B.-4C.2D.01.B【解析】由f(x)=2xf'(1)+x2,得f'(x)=2f'(1)+2x,所以f'(1)=-2,从而f(x)=-4x+x2,因此f'(x)=-4+2x,故f'(0)=-4.2.在抛物线y=x2+x-1上取横坐标为x1=1,x2=3的两点,过这两点引割线,在抛物线上存在一点使过该点的切线平行于所引的割线,则该点的坐标为()A.(2,5)B.(3,3)C.(2,3)D.(3,7)2.A【解析】当x1=1时,y1=12+1-1=1,当x2=3时,y2=32+3-1=11,∴所引割线的斜率为k==5.设在抛物线上的点M(x0,y0)处的切线平行于所引的割线,则y'=(2x+1)=2x0+1=5,∴x0=2,y0=22+2-1=5,∴该点的坐标为(2,5).3.(2015·青海平安一中质检)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为-,则该切点的横坐标为()A.-3B.2C.-3或2D.33.B【解析】设该切点坐标为P(x0,y0),由y=-3lnx得y'=,令=-,解得x0=-3(舍)或x0=2.4.(2015·济宁模拟)已知f(x)=x(2016+lnx),f'(x0)=2017,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e4.B【解析】由题意可知f'(x)=2016+lnx+x·=2017+lnx.由f'(x0)=2017,得lnx0=0,解得x0=1.5.函数f(x)=xex的图象在x=1处的切线方程为()A.y=2ex-3eB.y=2ex-eC.y=2ex+eD.y=ex-e5.B【解析】由f(x)=xex得f'(x)=ex+xex,又当x=1时,f(1)=e,所以切点为P(1,e),且斜率为k=f'(1)=2e,故切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.6.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f'(x)的图象是()6.A【解析】由题意知又∵f'(x)=2x+b,∴f'(x)的图象为如A项所示.二、填空题(每小题5分,共15分)7.已知y=x3-2x-1+1,则其导函数的最小值为.7.2【解析】由题可知y'=x2+,又因为x2+≥2,所以导函数的最小值为2.8.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f'(0)=.8.1×2×…×n【解析】令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=x·g(x).求导数得f'(x)=x'g(x)+x·g'(x)=g(x)+x·g'(x),所以f'(0)=g(0)+0·g'(0)=g(0)=1×2×…×n.9.(2015·江西师大附中月考)在正方形ABCD中,M是BD的中点,且=m+n(m,n∈R),函数f(x)=ex-ax+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=(m+n)x垂直的切线(e为自然对数的底数),则实数a的取值范围是.9.(1,+∞)【解析】由题可得f'(x)=ex-a,又∵B,D,M三点共线,∴m+n=1,即曲线C存在与直线y=x垂直的切线,∴ex-a=-1有解,即a=ex+1有解,∴a>1.[高考冲关]1.(5分)(2015·南京调研)已知函数f(x)=ex,g(x)=x-b,b∈R.若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,则b的值为()A.-1B.1C.eD.-e1.A【解析】设切点为(t,et),因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,所以et=1,且et=t-b,解得b=-1.2.(5分)若P为曲线y=lnx上一动点,Q为直线y=x+1上一动点,则|PQ|min=()A.0B.C.D.22.C【解析】如图所示,直线l与y=lnx相切且与y=x+1平行时,则切点P到直线y=x+1的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)'=,令=1,得x=1,故P(1,0),故|PQ|min=.3.(5分)(2015·山西四校联考)若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为.3.[-1,2]【解析】由f(x)=-ex-x,得f'(x)=-ex-1,由g(x)=ax+2cosx,得g'(x)=a-2sinx.∵ex+1>1,∴∈(0,1),又-2sinx∈[-2,2],所以a-2sinx∈[a-2,a+2],要使对于曲线f(x)=-ex-x的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则必须有解得-1≤a≤2.4.(10分)(2015·四川南山中学月考)已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a为参数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若对任意x>0都有f(x)≥0成立,求a的取值范围;(3)点A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线y=f(x)上的两点,且0f'(x0)时,证明a<0.4.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x-1-lnx,f'(x)=1-,则f'(1)=0.又切点坐标为(1,0),于是切线方程为y=0.(2)由题意知f(x)min≥0,f'(x)=1-,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,无最小值;当a>0时,f(x)的减区间是(0,a),增区间是(a,+∞),于是f(x)min=f(a)=a-1-alna.令g(x)=x-1-xlnx,则g'(x)=-lnx,因此g(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)上是减函数,所以g(x)max=g(1)=0,所以f(x)min=f(a)=a-1-alna的解只有a=1.综上a=1.(3)由题可知:f(x)=x-1-alnx,k=,f'(x0)=1-.因为k>f'(x0)等价于>1-,则-1+>0,即>0.令=t,则t>1,上式即为>0.记h(t)=-lnt+,则h'(t)=-<0,所以h(t)
