第二节等差数列[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·黑龙江牡丹江一中期中考试)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.21.A【解析】由S8=4a3得8a1+×d=4(a1+2d),则a1=-5d①,由a7=-2得a7=a1+6d=-2②,联立方程①②,解得a1=10,d=-2,故a9=a1+(9-1)d=10-16=-6.2.(2016·长春外国语学校质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=9,a6=11,则S9=()A.180B.90C.72D.102.B【解析】由a4=9,a6=11得d==1,又由a4=a1+3d得a1=9-3d=6,故S9=9×6+×1=90.3.(2015·福建莆田一中模拟)已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为S(t)=v0t+at2,设物体第n秒内的位移为an,则数列{an}是()A.公差为a的等差数列B.公差为-a的等差数列C.公比为a的等比数列D.公比为的等比数列3.A【解析】an=Sn-Sn-1=v0n+an2-v0(n-1)-a(n-1)2=an+,所以an-an-1=an+-a(n-1)-=a,即公差为a.4.(2015·山东临沂质检)在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为()A.4B.6C.8D.104.C【解析】 a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,∴a7-a8==8.5.(2016·马鞍山二中、安师大附中、淮北一中期中联考)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165,则此数列前30项和等于()A.810B.840C.870D.9005.B【解析】由a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165,可知a1+a2+a3+a28+a29+a30=168,由等差数列的性质可得3(a1+a30)=168,解得a1+a30=56,所以S30==56×15=840.6.(2016·江西九江一中月考)等差数列{an}中<-1,它的前n项和Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=()A.17B.18C.19D.206.A【解析】由等差数列以及前n项和Sn有最大值可得数列单调递减,又<-1,∴a9>0,a10<0,∴由不等式的性质可得a10<-a9,即a9+a10<0,∴S17==17a9>0,S18==9(a1+a18)=9(a9+a10)<0,∴当Sn取得最小正值时,n=17.7.在等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,已知,则等于()A.B.C.D.7.A【解析】由题意可得.二、填空题(每小题5分,共5分)8.(2016·鄂豫晋冀陕五省联考)数列{logkan}是首项为4,公差为2的等差数列,其中k>0,且k≠1.设cn=anlgan,若{cn}中的每一项恒小于它后面的项,则实数k的取值范围为.8.∪(1,+∞)【解析】由题可知logkan=4+(n-1)×2=2n+2,所以an=k2n+2,又cn=anlgan,所以cn=anlgan=k2n+2lg(k2n+2)=(2n+2)k2n+2lgk,由于{cn}中的每一项恒小于它后面的项,即cn1时,有lgk>0,因此由cn,此不等式在k>1下恒成立,故k>1符合.②当0(2n+4)k2n+4,即(n+1)>(n+2)k2,即转化为不等式k2<恒成立, n∈N*,∴,所以k2<,则0(n-1)(n+1),∴,+…+=1++…+<1++…+=1++…+=1+=-<,∴当n≥3时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数n,有+…+.[高考冲关]1.(5分)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于()A.1B.C.2D.31.C【解析】由已知得S3=3a2=12,即a2=4,∴d=a3-a2=6-4=2.2.(5分)(2016·合肥八中模拟)若a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值为()A.2B.3C.4D.52.D【解析】由题可知a+b=1,所以α+β=a++b+=1+(a+b)=3+≥3+2=5.3.(5分)(2016·福州八中质检)已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为.3.4【解析】 {an}是等差数列,S5=55,∴a1+a5=2a3=22,又 a4=15,设公差为d,...
