§12.4离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点一离散型随机变量及其分布列9.(2013天津,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.10.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==. 事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==, X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为X0123P∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.11.(2013福建,16,13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解析解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这2人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1~B,X2~B,所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即这2人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:X1024PX2036P所以E(X1)=0×+2×+4×=,E(X2)=0×+3×+6×=.因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识.12.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队...
