指数不等式、对数不等式的解法

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2025-08-12 发布于天津市
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指数不等式、对数不等式得解法·例题例 5-３－7 解不等式:解 (1)原不等式可化为x2-2x-1＜2(指数函数得单调性)x2-２ x－3<０ (x＋１)(x-３）<０所以原不等式得解为-13。［法二］原不等式同解于l ｏ gx＋１(x2-ｘ-２)＞log ｘ＋1(x＋1)所以原不等式得解为 x>3。注解这类对数不等式，要注意真数为正数,并须对底数得分类讨论。解原不等式可化为22x-6×２ｘ－１ 6＜0令 2 ｘ=ｔ(t>０),则得t2-６ｔ-1 ６<0 (t＋2)(t－8)<0 -2<ｔ<8又 t>0，故 00 且 a≠1,解不等式解原不等式可化为令 logaｘ=t，则得当 0＜a＜1 时,由指数函数得单调性，有4-t ２<1-２ｔ t2-2 ｔ－３>０ (t+1)(t-3)＞0t＜-1,或ｔ>3当ａ＞１时，则有4-ｔ 2>1－2t t ２－2t-3＜０（t+１)(t-3)＜0 -11，f（1)=a。解关于 x 得不等式 f（x2+x-4)＞a2。分析由题设条件容易联想到 f(x）就就是指数型函数,又 a ２=f(１)·ｆ(1)=f(２),故原不等式同解于 f(ｘ２+x－4）>f（2）。于就就是,问题归结为先确定 f(ｘ）得单调性,再解一个二次不等式。=0,否则,对任意 x∈R，有ｆ（x)=ｆ((x-x0）+ｘ 0)=f(x-x ０)ｆ(x0）=0与已知矛盾,所以对任意 x∈R,有 f(x)＞0。现设ｘ，y∈R，且ｙ=x+δ(δ>0)。则f(y)-f(x)=f(x＋δ)-f（x)=f（ｘ)f(δ）-ｆ(x)=f(x)[f(δ)－１]>0(∵δ＞0,∴f(δ）>１)。故 f(x）在Ｒ内就就是增函数。于就就是原不等式同解于x2+ｘ－4＞2 x2+ｘ-６＞0 x＜-3 或 x>2注本题得关键就就是确定函数 f（x)得单调性,而不必求出它得具体表达式。

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