结构优化的敏度分析技术 1 敏度分析方法 结构敏度分析是为结构优化提供有关结构约束函数及目的函数的一阶甚至二阶导数信息。结构敏度分析涉及有差分法、解析法、解析和差分结合的拟解析法。差分法通用性好，易于实现，但计算量大;解析法实现起来较困难，但计算效率高;拟解析法在计算解析敏度困难时可予采纳。这里重要介绍解析法。(1)拟载荷法 考虑线性静力有限元分析的系统方程为(20)假如载荷 F 与设计变量向量 X 无关，则由式(20)对 X 求导可得(21) 令，则由式(2)可得拟载荷法求结构位移导数的公式为(22)R 称为虚拟载荷。有限元法中，总刚矩阵 K 为一稀疏带状对称正定矩阵。一般式(20)采纳Coleskey 三角分解来求解，亦即相称于已在结构分析中得到，从而易于获得。这里的第 i 行为从式(22)可知，拟载荷法适合于求解所有位移对所有设计变量或对某一个设计变量的导数。(2)单位载荷法 假想仅在位移相应的节点和方向上施加单位载荷，设其相应的位移响应为，由式(20)对求导可得(23) 对式(44. 5-23)两边前乘单位载荷向量可得 将上式两边转置，并运用 K 的对称性易得单位载荷法求位移导数的公式为(24) 此方法适合于求某些位移自由度对所有设计变量或对某些设计变量的导数。一般当设计变量较少、位移约束数目较少时用此方法较经济。(3)性态空间法 前两种敏度分析方法是在设计空间中进行的。通常称应力、位移等结构性态响应为性态变量，因此在性态空间中约束可表达为(25)定义随着变量向量，使之满足由式(25)对 X 求导可得(26)将拟载荷法公式(22)两边左乘有(27)将式(22)代入式(26)并运用 K 的对称性可得(28)当时，，，此时式(28)变为(29)式(29)为用性态空间法计算位移导数的公式。事实上，单位载荷法可以从这里的性态空间法或前面的拟载荷法导出。性态空间法不仅合用于求位移约束导数，并且也合用于求应力约束导数。只要对某个约束求出了随着变量就可以求得其敏度值。(4)应力敏度分析 应力敏度分析用来猎取应力导数。考虑应力计算有限元公式(30)式中——应力；S——应力矩阵；U——位移向量。由式(30)对求导，并考虑到尺寸优化时 S 与 X 无关，故有应力敏度分析公式为(31) 从式(31)可知，计算应力导数实质上是计算位移导数。由于结构优化中，几乎所有单元应力均有约束，因此应力导数计算量相称大。 考虑到应力约束具有局部特性，故实际应用时可以采纳近似方法计算应力导数，其效果是计算量剧减而又能具有足够的...
