专题探究课三 高考中数列不等式问题的热点题型高考导航 考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题；三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查，难度较大，涉及内容较为全面，试题思维量较大.热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例 1】 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以 S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即 4a5＝a3，于是 q2＝＝.又{an}不是递减数列且 a1＝，所以 q＝－.故等比数列{an}的通项公式为 an＝×＝(－1)n－1·.(2)由(1)得 Sn＝1－＝当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大而减小，所以 1Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于 n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【训练 1】 (2017·乐清模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，满足 S5－2a2＝25，且 a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设 Tn是数列的前 n 项和，是否存在 k∈N*，使得等式 1－2Tk＝成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，∴解得 a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1. b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，∴等比数列{bn}的公比 q＝3，∴bn＝3n.(2)不存在.理由如下： ＝＝，∴Tn＝＝，∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，易知数列为单调递减数列，∴<1－2Tk≤，又＝∈，∴不存在 k∈N*，使得等式 1－2Tk＝成立.热点二 数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算....
