带你走进法向量 一、法向量概念理解如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量叫做平面的法向量．特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量是平面的一个法向量，向量与平面平行或在平面内，则；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（3）根据法向量的定义建立关于、、的方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为 或）．三、用法向量可以解决的问题1．直线与平面成角直线 与平面所成的角为，是直线 的方向向量 与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有． 注意：求出直线 的方向向量 与平面的法向量的夹角 （锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角．2．平面与平面成角设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量、方向相反时，则二面角 的 大 小 等 于， 若 两 个 面 的 法 向 量、方 向 相 同 时 ， 则 二 面 角 大 小 为．3．求点面距离用心 爱心 专心1点面距离的具体求解步骤是：（1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设是直线 上的一个单位方向向量，线段在 上的投影是，则有，是求点到线，点到面的距离问题重要公式． 四、法向量的具体应用例 1 如图，四边形是直角梯形，∥，，又，，直线与直线所成的角为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角余弦值的大小．解：（1） ∴，又 ∴平面平面．（2）在平面内，过作，建立空间直角坐标系由题意有，设，则，由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得（正方向），平面的法向量取为（正方向），用心 爱心 专心2ACBMPxyz设与所成的角为，则，∴二面角的大小为的补角，故二面角的余弦值的大小为．评注：设，分别是二面角的面的法向...
