高三数学专题复习二次函数的最值问题（学案）

二次函数的最值问题一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得对称轴方程 当时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例 1. （2002 年上海）已知函数，当时，求函数 f(x)的最大值与最小值。2. 轴定区间动例 2. （2002 年全国）设 a 为实数，函数，求 f(x)的最小值。3. 轴动区间定评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。例 3．求函数在上的最大值。4. 轴变区间变例 4. 已知，求的最小值。（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5. 已知函数在区间上的最大值为 4，求实数 a 的值。例 6. 已知函数在区间上的值域是，求 m，n 的值。练习：1、已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值2、已知二次函数在区间上的最大值为 3，求实数 a 的值。3、已知函数的最大值为，求的值 ．2009 届高三第一论复习二次函数的最值问题讲义参考答案例题答案：例 1.解析：时， 所以时，时，.例 2.（1）当时，① 若，则;② 若，则（2）当时，① 若，则;；② 若，则综上所述，当时，；当时，；当时，。例 3．解析：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即例 4.解析：将代入 u 中，得①，即时，②，即时，所以例 5. 解析：（1）若，不合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例 6.解析 1：讨论对称轴中 1 与的位置关系。① 若，则解得② 若，则，无解③ 若，则，无解④ 若，则，无解综上，解析 2：由，知，则，f(x)在上递增。所以...